【汇旺担保】 运算元内插

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[拼音]:suanzi neicha

[外文]:interpolation of operators

证明运算元有界性的一种数学方法。如果运算元T 是Lp到Lq的有界运算元,即对所有的ƒ∈Lp,有Tƒ∈Lq,且满足

式中M是运算元的界,与ƒ无关,就称T是强(p,q)型的。最早也是最典型的运算元内插定理是里斯-索林定理。

里斯-索林定理

如果线性运算元T 同时是强(p1,q1)和强(p2,q2)型的,其中1≤pj≤∞,1≤qj≤∞(j=1,2),即

则对所有满足

(1)

的p和q,T是强(p,q)型的,即

并且M,M1,M2之间满足不等式

可以从几何上来看定理中p,q和pj,qj的关系。记

则α1、α 2表示区间[0,1]上的两点,α在α1,α 2之间,设想β是α 的函式,在α1时取值β1,在α 2时取值β2,问β在α点取什么值?关系式(1)表明β的值恰好等于在(α1,β1)和(α 2,β2)作线性内插时的线性函式在α 取的值(图1

)。这就是运算元内插这个名称的由来。

里斯-索林定理说明,要证明一个线性运算元T是Lp到Lq有界的,只须验证T同时是L

到L

和L

到L

有界的。也就是说,要得到T 是强

型的,只需验证T 线上段的两个端点具有相应的型,即同时是强

型和强

型就可以了。

下面通过一个典型例子来看如何应用这种运算元内插的方法。

豪斯多夫-杨定理

设弮是ƒ的傅立叶变换,即

式中

从运算元内插的观点来看这个定理,就显得比较简单。事实上,取p1=2,q1=2,这时不等式

是帕舍伐尔等式的推论。取p2=1,q2=∞,这时显然有

。用里斯-索林定理便得所要证的结果(图2

)。如果不用运算元内插,这定理的证明就困难得多。

里斯-索林定理的条件可以减弱。首先,线性运算元的条件可用次可加性代替,所谓次可加性是指对任意的ƒ,g,皆有

其次,更重要的是定理的强型条件可以用下面的弱型条件代替。称T是弱(p,q)型的(1≤q<∞),如果存在常数C,使得对任意的ƒ∈Lp和任意的实数λ>0,有不等式

成立,式中m表示勒贝格测度。如果q=∞,则弱(p,q)型用强(p,q)型定义。不难证明,强(p,q)型的运算元一定是弱(p,q)型的。这样代替以后,p,q的限制要多一些,这可以叙述为下面的另一个十分基本的内插定理。

马钦凯维奇内插定理

如果次可加运算元 T同时是弱(p1,q1)型和弱(p2,q2)型的,即

的(p, q),T是强(p, q)型的,即

运算元内插的方法不仅在调和分析,还在泛函分析、偏微分方程的理论中有许多应用。

参考书目

E.M.Stein and G.Weiss,lntroduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton Univ. Press, Princeton, 1971.

A.Zygmund,Trigonometrical Series,2nd ed., Vol. 1~2,Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1959.

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